براي نمايش بخش اول روي اين لينک کليک کنيد.

دومین بحران در مبانی ریاضیات با کشف حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط نیوتن(Newton)و لایب نیتز(Leibnitz) در اواخر قرن هفدهم پدید آمد.

علی رغم استفاده از توان و کاربردپذیری این وسیله جدید پیروان این دو دانشمند نتوانستند استحکام و درستی اصولی را که این تئوری بر آنها استوار بود بررسی کنند و لذا به جای آنکه اصول گواه بر درستی نتایج باشد.با استفاده از نتایج درستی اصول تحقیق می گردید.(در واقع اصول مدونی به نام اصول موضوع در کار نبود زیرا که آنالیز قرن هفدهم بر خلاف هندسه به روش اصل موضوعی بنا نشده بود.)

با گذشت زمان،تناقضات و پارادوکسهایی بروز کرد و بحرانهای جدی در مبانی ریاضیات پدید آمد.برای بیشتر روشن شدن مطلب بعضی از این پارادوکسها را مرور می کنیم.

1- نیوتن در کتاب خود تحت عنوان انحنای منحنی ها،مشتقX۳را چنین تعیین می کند:

در هر  زمانی که X به X+ΔX رشد می کند،توان X۳ برابر ³(X+ΔX) می شود، یا

 3X² ΔX+3X(ΔX)²+(ΔX)³+X۳ و رشد،یا نموها به ترتیب برابرند با ΔX و  3X²ΔX+3X(ΔX)²+(ΔX)³. نسبت آنها به رشد متغییر برابر است با 1 و 3X² +3XΔX+(ΔX)² اکنون فرض کنیم رشد(متغییر)صفر شود و لذا نسبت رشدهای اخیر برابر 1 و3X² می گردد،از این رو نسبت تغییرX۳ به X برابر3X² خواهد بود.

در قسمتی از این استدلال فرض می شود که ΔX مقداری غیر صفر است،در حالیکه در بخش دیگر برابر صفر انگاشته می شود.

اولین نقد این مطلب از آن بیشاب برکلی(Bishop Berkely) می باشد.پاسخهایی به برکلی داده شده ولی بدون بحث منطقی درباره ی حدود،این پاسخها قانع کننده نبود.در واقع همه شرحهای اولیه فرآیند حساب دیفرانسیل و انتگرال مبهم و آمیخته با مشکلات بوده و درک آن آسان نیست.بعضی از این شرحها بر استدلالهای نامعقول و اسرارآمیز استوار است،همانند این بیان یوهان برنولی که گفته است:

« هر کمیتی که به اندازه ی کمیت بینهایت کوچکی کاهش یا افزایش یابد،نه کاهش می یابد و نه افزایش می یابد.»

وقتی که نظریه یک عمل ریاضی به گونه ای ضعیف تفهیم گردد،همواره این خطر وجود دارد که این عمل به گونه ای کورکورانه و شاید غیرمنطقی اعمال گردد.مجری چنین عملی که از محدودیتهای ممکن این عمل آگاه نیست،عمل را احتمالاً در مواردی به کار خواهد گرفت که لزوماً قابل اعمال نخواهد بود.

2- ریاضی دانهای قرن نوزدهم که تحت تاثیر کاربردپذیری فوق العاده قدرتمند این موضوع قرار داشتند تا بواسطه ی خلاء ناشی از درک حقیقی مبانی این علم تکنیکهای آن را به طور کورکورانه ای در هر وضعیت به کار می گرفتند.از جمله کارهای ریاضی دان بزرگ سوئیسی لئونارد اویلر(1707-1783) مثال مهمی از فرمول گرایی قرن هجدهم در آنالیز می باشد.وی منحصراً توسط کار با فرمولها،فرمول خارق العاده   را کشف کرد که وقتی X=Π قرار دهیم، رابطه  حاصل می شود که رابطه ای میان مهمترین چهار عدد ریاضی است.نام اویلر تقریباً با هر شاخه از ریاضیات قرین بوده و جالب است که یادآور شویم که حتی در سالهای پایان عمر که مبتلا به کوری چشم گردید،به مطالعه ادامه داد.معهذا فرمول گرایی اویلر وی را به اشتباه کاریهایی رهنمون می کرد.

برای مثال،هرگاه قضیه ی دو جمله ای را برای ۱-(1-2) اعمال کنیم بدست می آوریم.

-1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … نتیجه ای که باعث حیرت اویلر نگردید!

همچنین با جمع دو سری

X + X² + X³ + … = X/(1-X)    ،    1 + 1/X + 1/X² + … = X/(X-1)

اویلر رابطه     … + 1/X² + 1/X + 1 + X + X² + … = 0را بدست آورد.

ریاضی دانان قرن های هفدهم و هجدهم اطلاع اندکی از سیرهای نامتناهی داشتند،لذا این حوزه از ریاضیات پارادوکسهای بسیاری را بوجود آورد.برای مثال اگر سری S = 1-1+1-1+1-1+ …  را در نظر بگیریم و جملات این سری را به طریقی گروه بندی کنیم،بدست می آوریم:

     S = (1-1)+ (1-1)+ (1-1)+ … = 0+0+0+ … = 0

در حالی که هرگاه جملات را به طریق دیگر دسته بندی کنیم،داریم:

S = 1-(1-1)-(1-1)- … = 1-0-0-0- … = 1

لایب نیتز چنین استدلال می کرد که چون حاصل جمع های صفر و یک به یک اندازه محتمل اند،حاصل جمع صحیح برابر مقدار میانگین 1/2 می باشد.همچنین مقدار 1/2 را به گونه فرمولی دیگری نیز بدست آورد.زیرا داریم:

S = 1-(1-1+1-1+1-1+ …) = 1-S

از این رو 2S = 1 و در نتیجه: S = 1/2

اولین پیشنهاد برای اصلاح واقعی وضع قانون نامتوافق  مبانی آنالیز از طرف دلامبر (1717-1783) مطرح گردید.دلامبر بسیار به جا تشخیص داد که به تئوری حدود نیاز است(1734) لیکن توسعه صحیحی از این تئوری تا به سال 1821 میلادی مقدور نگشت.

 

براي نمايش بخش پنجم روي اين لينک کليک کنيد.

---

نویسنده: علی جعفری