برای نمایش بخش اول روی این لینک کلیک کنید. 

کميتهاي گنگ
اعداد صحيح تجربه هايي هستند که از روند شمارش دسته هاي متناهي اشيا ناشي مي شوند. نيازهاي زندگي روزمره ما را ملزم مي سازند که علاوه بر شمارش اشياي منفرد , کميت هاي مختلفي از قبيل طول , وزن و زمان را اندازه گيري کنيم. براي بر آوردن اين احتياجات ساده اندازه گيري , کسرها را لازم داريم. زيرا به عنوان مثال به ندرت پيش مي آيد که طولي شامل عده ي دقيقاً صحيحي از واحدهاي خطي باشد. اگر عدد گويا را به صورت خارج قسمت دو عدد صحيح تعريف کنيم , که در آن ۰ q≠ , اين دستگاه اعداد گويا از آنجا که شامل همه ي اعداد صحيح و کسرهاست. براي مقاصد عملي اندازه گيري کفايت مي کند. اعداد گويا تعميم هندسي ساده اي دارند. دو نقطه متمايز O و I را بر يک خط مستقيم افقي مشخص کنيد به طوري که I در طرف راست O باشد و قطعه خط OI را به عنوان واحد طول انتخاب کنيد. اگر فرض کنيم که O و I به ترتيب معرف اعداد صفر و يک باشند , آنگاه اعداد صحيح مثبت و منفي را مي توان با مجموعه ي نقاطي بر خط که به اندازه ي يک واحد از هم فاصله داشته باشند , نمايش داد.
اعداد صحيح مثبت در طرف راست O و اعداد صحيح منفي در طرف چپ O نمايش داده مي شوند. در اين صورت کسرهاي به مخرج q را مي توان با نقاطي که هر فاصله ي به طول واحد را به q قسمت مساوي تقسيم مي کنند , نمايش داد. لذا به ازاي هر عدد گويا نقطه اي در روي اين خط وجود دارد. براي رياضي دانان اوليه بديهي به نظر مي رسيد که بدين طريق همه ي نقاط خط به کار گرفته خواهند شد. اطلاع از اين که نقاطي بر خط وجود دارند که متناظر با هيچ عددي نيستند , قاعدتاً تکان دهنده بوده باشد. اين کشف يکي از بزرگترين دستاوردهاي فيثاغورسيان بود. فيثاغورسيان به ويژه نشان دادند که هيچ عدد گويايي نظير نقطه ي P بر روي خط به طوري که فاصله ي OP در آن مساوي قطر مربعي به ضلع واحد باشد , وجود ندارد ( به شکل نگاه کنيد ).
اکنون لازم بود اعداد جديدي ابداع شوند که متناظر با چنان نقاطي باشند , و چون اين اعداد  نمي توانند گويا باشند اعداد گنگ نام يافتند. کشف آنان يکي از حوادث برجسته را در تاريخ رياضيات مشخص مي کند. کشف اعداد گنگ , براي فيثاغورسيان حيرت آور و نگران کننده بود. قبل از همه , اين کشف ضربه ي مهلکي بر فلسفه ي فيثاغورسي , که همه چيز را به اعداد صحيح وابسته مي دانست , تلقي شد. ديگر آن که , اين مطلب مغاير با عقل سليم به نظر مي آمد , زيرا به طور شهودي حس مي شد که هر کميتي با يک عدد گويا قابل بيان است. همتاي هندسي آن نيز همانقدر تکان دهنده بود , زيرا چه کسي مي توانست در اين ترديد کند که به ازاي هر دو قطعه خط مفروض مي توان خط سومي , هر چند بسيار بسيار کوچک , پيدا کرد به طوري که به تعداد دفعات صحيح در هر يک از دو خط مفروض بگنجد ؟ اما به عنوان اين دو قطعه خط , يک ضلع s و يک قطر d از مربعي را اختيار کنيد. حال اگر قطعه خط سومي مانند t وجود داشته باشد که به تعداد دفعات صحيح در s و d بگنجد. خواهيم داشت :  
                                                     d=at , s=bt ,Z + є a,b

اما d=s خواهد بود , که از آن نتيجه مي شود at = bt يعني a=b و يا پس یک عدد گویا خواهد بود ولی ار آنجا که نمي تواند گويا باشد , برخلاف برداشت شهودي ما , قطعه خط هايي نامتوافق وجود دارند. يعني قطعه خط هايي که داراي مقياس اندازه گيري مشترکي نيستند. اين کشف گنگ بودن بهتي را در فيثاغورسيان باعث شد. اين امر نه تنها فرض اساسي وابسته بودن همه چيز را به اعداد صحيح ظاهراً بر هم مي زند , بلکه چون تعريف فيثاغورسي تناسب , هر دو کميت همجنس را متوافق فرض مي کرد همه قضاياي نظريه فيثاغورسي تناسب بايد به کميت هاي متوافق مي گرديد و لذا نظريه عمومي اشکال متشابه آنها از اعتبار افتاد. اين رسوايي منطقي آن چنان عظيم بود که براي مدتي سعي مي شد موضوع مخفي نگه داشته شود , و افسانه اي با اين مضمون وجود دارد که هيپاسوس ( Hippasus ) فيثاغورسي به خاطر عدم تقوايش در افشاي اين راز نزد اجانب , در دريا به هلاکت رسيد يا ( مطابق روايت ديگري ) از جامعه ي فيثاغورسيان طرد شد و قبري براي وي برپا گرديد آنچنان که گويي مرده است. سرانجام در حدود 370 ق م اين رسوايي توسط ائودوکسوس ( Eudoxus ) , شاگرد افلاطون و آرخوتاس که از فيثاغورسيان بود , با ارائه تعريفي جديد از تناسب و پذيرش اعداد گنگ مرتفع گرديد. شکي نيست که پي آمد چنين کشفي عکس العمل حادي در تفکر رياضي بوده است. اين کشف به خصوص بر اين امر تأکيد کرد که اين نظر که بر چه چيزهايي به عنوان فرضيات بنيادي بايد توافق کرد , اهميت اساسي دارد. فلذا بحراني از اين گونه که با کشف اعداد گنگ آغاز گشته بود توانست مبدأ روش مدرن رياضي نيز تلقي گردد و در چنين صورتي امتياز اختراع روش مدرن رياضي را بايد تا اندازه اي به ائودوکسوس نسبت داد. هم او بود که سرانجام توانست بحراني را که در رياضيات سر برافراشته بود , پايان دهد.

برای نمایش بخش سوم روی این لینک کلیک کنید.

---

نویسنده: علی جعفری