براي نمايش بخش اول روي اين لينک کليک کنيد.

پيشرفت بزرگي در سال 1821 رخ داد و آن زماني بود که رياضي دانآگوست کوشی(Augustin Louis Cauchy) فرانسوي آگوست کوشي(1857-1789) به طور موفقيت آميزي پيشنهاد دلامبر را عملي کرده و يک تئوري قابل قبول براي حدود ابداع کرد و سپس مفاهيم مهمي چون پيوستگي،مشتق پذيري و انتگرال معين را با استفاده از مفهوم حد تعريف کرد.
مفهوم حد يقيناً يکي از ضروري ترين مفاهيم براي گسترش آناليز است.زيرا همگرايي و واگرايي سريها نيز به اين مفهوم وابسته است.کار منطقي کوشي،ديگر رياضي دانان را تهييج کرد تا به او بپيوندند و آناليز را از شهودگرايي سطحي  و فرمول گرايي نجات دهند.
رياضي دان آلماني،کارل وايراشتراس (1897-1815)در سال 1847 تابع اي را معرفي کرد که در تمام نقاط پيوسته بود و در تمام نقاط فاقد مشتق بود به عبارت ديگر  منحني اي که در هيچ يک از نقاط خود داراي مماسيکارل وایراشتراس(Karl Weierstrass) نيست.تابع وايراشتراس يک مثال جدي عليه به کارگيري شهود هندسي در مطالعات آناليز به شمار مي رفت.
تئوري حد،که بر آن ايده هاي پیوستگي و مشتق پذيري استوار بود.قبلاً بر شهود ساده هندسي مفهوم اعداد حقيقي ساخته شده بود.کم کم نمايان شد که نظريه حد،پيوستگي و مشتق پذيري بر ويژگي هاي اساسي تري از سيستم اعداد حقيقي بستگي داند که قبل از اين تصور نمي رفت.از جمله ي اين بستگي ها تابعي است که توسط ريمان ارائه شد،تابعي که براي همه مقادير گنگ متغيير پيوسته و براي همه مقادير گوياي متغيير ناپيوسته است.
مثالهاي فوق نياز به بازنگري ساختار دستگاه اعداد حقيقي را طلب مي کرد.بنابراين وايراشتراس برنامه اي تهيه ديد که در آن نخست خود سيستم اعداد حقيقي مي بايست سامان مي يافت،سپس مفاهيم بنيادي آناليز از اين سيستم بدست مي آمد.اين برنامه مهم به حسابي کردن آناليز مشهور است.اين کار بسي مشکل مي نمود ليکن سرانجام توسط وايراشتراس وشاگردانش انجام شد.به طوري که امروز مي توان ادعا کرد که آناليز کلاسيک به گونه اي مستحکم بر سيستم اعداد حقيقي به عنوان يک مباني استوار شده است.
روش اصل موضوعي:هر تئوري علمي مجموعه اي است از گزاره هايي که راست شمرده مي شوند و مبين خواصي از اشياء موضوع بحث آن تئوري يا نسبتهايي بين آنها مي باشد.مثلاً در هندسه،نقاط و خطوط  و زوايا از جمله اشياء مورد بحث هستند و گزارهِ:هر نقطه از عمود منصف يک قطعه خط مستقيم از طرفين آن به يک فاصله است،از گزاره هاي راست هندسي مي باشد.
در يک تئوري رياضي گزاره هاي راست تئوري(قضايا)نظم و ترتيب خاصي دارند،و آن ناشي از اين است که بعضي از آنها نتيجه ي منطقي بعضي ديگر است و به عبارت ديگر ،بعضي از آنها از بعضي ديگر لازم مي آيد.البته در هر مورد،چنين ادعايي را بايد با آوردن دليل ثابت کرد.
در تاسيس يک تئوري رياضي طبعاً دو سوال به ذهن شخص خطور مي کند:
يکي اينکه،از اشياء مورد بحث،کداميک را تعريف کنيم و ديگر آنکه از گزاره ها،کدام را ثابت نمائيم.جوابي که دربادي امر به نظر مي رسد اين است که هر چه از آن سخن مي گوئيم تعريف کنيم و هر چه را بدان حکم مي کنيم،ثابت کنيم.
البته کمال مطلوب همين است،امّا با اندک تاملي آشکار مي شودکه اين کمال مطلوب غير ممکن است.مثلاً در هندسه،در تعريف نقطه ناچار بايد به عبارت ديگري توسل جست،و در تعريف هر يک از عبارات به عبارت ديگر.اين رشته تعريفات يا تا بي نهايت ائامه مي يابد(تسلسل)يا در مرحله اي به عبارتي که تعريف آن مورد نظر بود باز مي گردد (دور)،و در هر دو حالت،عبارت مذکور بدون تعريف مي ماند.
در اثبات گزاره های نیز حال بر همین منوال است.در اثبات یک گزاره باید به گزاره های دیگر استناد کرد، و در اثبات هریک از این گزاره ها باید به گزاره های دیگر توسل جُست و این امر منجر به دور یا تسلسل می گردد و در هر حالت گزاره مورد نظر بدون دلیل می ماند.
بنا بر آنچه گذشت،تعریف همه عبارات یک تئوری ریاضی و نیز اثبات همه گزاره های آن غیر ممکن است.پس در ساختن یک تئوری،ناچار باید بعضی از عبارات آن را بدون تعریف،موضوع بحث قرار داد و بعضی از گزاره های آن را بدون دلیل،به عنوان گزاره های راست تئوری قبول کرد.عبارات مذکور را حدود اولیه یا حدود تعریف نشده و گزاره های مذکور را اصول موضوعه آن تئوری می نامند.
پس از انتخاب حدود اولیه یک تئوری،هیچ عبارت دیگر در آن تئوری قابل بحث نخواهد بود مگر اینکه به وسیله ی حدود اولیه یا عباراتی که قبلاً به وسیله ی حدود اولیه تعریف شده اند،تعریف شود.عباراتی را که بدین گونه تعریف می شوند،حدود ثانویه یا تعریف شده تئوری می نامند.همچنین پس از انتخاب اصول موضوعه یک تئوری،گزاره ای از تئوری فقط و فقط وقتی به عنوان یک گزاره راست پذیرفته می شود که به دلیلی از اصول موضوعه تئوری استنتاج شود.در این صورت،آن گزاره را یک قضیه آن تئوری می نامند.
جالب است بدانیم نخستین مبحثی از ریاضیات که به روش اصل موضوعی تاسیس شده است هندسه مقدماتی است،و این کار بیش از دوهزار سال قبل به وسیله اقلیدس،دانشمند بزرگ یونانی حوزه علمی اسکندریه، صورت گرفت.کتاب اصول هندسه وی از این جهت بین آثار علمی ای که تا اواخر قرن 19 میلادی بوجود آمده است منحصر به فرد است.

براي نمايش بخش ششم روي اين لينک کليک کنيد.

---

نویسنده: علی جعفری