بحران هاي تاريخي در مباني رياضيات (بخش سوم)
براي نمايش بخش اول روي اين لينک کليک کنيد.
يکي از مشهورترين اعداد رياضي،نسبت محيط دايره به قطر آن است.که از ايام بسيار قديم مورد توجه بوده است.اين عدد از زمان اويلر به بعد بنام П خوانده مي شود.عدد مشهور ديگر e مي باشد و سابقه اش ظاهراً بعد از کشف لگاريتم است.تا اواسط قرن 18 ميلادي کسي نمي دانست که گنگ است يا گويا تا آنکه لامبرت در سال 1761 گنگ بودن آن را ثابت کرد.امروزه مي دانيم که تمام توانهاي طبيعي e و П گنگ هستند.امّا گنگ بودن
و
و 
هنوز دانسته نيست.
نظريه ي تناسب هر چند توسط ائودوکسوس به اعداد گنگ تعميم يافت امّا توصيف اعداد گنگ به لحاظ وجودي توسط ريچارد دِدکيند (Richard Dedekind) در سال 1872 ارائه گرديد.در اينجا به توصيفي که دِدکيند براي 
ارائه کرده اشاره مي کنيم.ابتدا چند تعريف ساده را بررسي مي کنيم:
تعريف: فرض کنيم X مجموعه اي غيرخالي از اعداد حقيقي باشد.زوج مرتب (A,B) از زير مجموعه هاي X را يک برش در X خوانيم در صورتي که واجد شرايط زير باشد:
الف: B ≠ Ø , A ≠ Ø
ب: A U B=X
ج: به ازاي هر X از A و هر Y از
مجموعه هاي B ، A را به ترتيب طبقه پايين و طبقه ي بالاي برش (A,B) مي ناميم.
تعريف: برشي در X را که طبقه ي پايين آن فاقد عضو ماکزيمم و طبقه ي بالاي آن فاقد عضو مينيمم باشد يک رخنه در X نامند.اگر رخنه اي در X موجود باشد گوييم X رخنه دارد.دو زير مجموعه:
1- { X۲<2 يا A { X є Q | X<0
2- { B { X є Q | X>0 , X۲>2
از Q مجموعه اعداد گويا را افراز مي کند. بعلاوه هر عضو A کوچکتر از هر عضو B است.بنابراين (A,B) يک برش در Q است. در اين افراز، نه A عضو ماکزيمم دارد و نه B داراي عضو مينيمم است.پس اين برش يک رخنه در Q مي باشد. حال اگر a را عددي در نظر بگيريم که به توان 2 برسد و برابر عدد 2 شود، اين a به A و به B تعلق ندارد.پس a نمي تواند گويا باشد.بعلاوه a از همه اعضاي مجموعه A بزرگتر و از همه اعضاي مجموعه B کوچکتر است. ددکيند a راناميد و آن را عددي غير گويا و يا گنگ تعريف کرد.
براي نمايش بخش چهارم روي اين لينک کليک کنيد.
---
نویسنده: علی جعفری
وبلاگ مشترک دانشجویان درس تاریخ و فلسفه علم استاد علی جعفری