تاریخ و فلسفه علم                      

بحران سوم:

سومین بحران در مبانی ریاضیات ناگهان در سال 1897 به وقوع پیوست گرچه بیش از یک قرن از آن تاریخ می گذرد،هنوز هم آنگونه که همه متخصصین را قانع کند حل و فصل نشده است.این بحران با کشف پارادوکسهایی در تئوری مجموعه های کانتور آغاز گردید.از آنجا که قسمت اعظم ای از ریاضیات با مفاهیم مجموعه ها عجین است.و از این حیث نظریه مجموعه ها به عنوان پایه ریاضیات تلقی می گردد.کشف این پارادوکسها طبعاً شک و نگرانی عمده ای در برقراری همه مبانی ریاضیات به همراه داشته است.

در سال 1897،ریاضیدان ایتالیایی به نام برالی-فورتی اولین پارادوکس تئوری مجموعه ها را منتشر کرد.این پارادوکس با عبارات  و مفاهیم فنی عرضه شده که ارائه آن در این مختصر نمی گنجد.معهذا جوهره این پارادوکسها را می توان عرضه کرد از این قرار که پارادوکسی که در سال بعد توسط خود کانتور کشف شد بسیار شبیه پارادوکس برالی-فورتی است.ولیکن با توصیف غیر فنی ارائه شده است.

کانتور در تئوری مجموعه ها موفق شد ثابت کند که برای هر عدد اصلی،عدد اصلی و بزرگتر از آن وجود دارد.یعنی هیچ عدد اصلی که بزرگتر باشد وجود ندارد.(مفهوم عدد اصلی در قسمتهای آتی توضیح داده شده است.)

اکنون مجموعه ای را در نظر می گیریم که اعضای آن همه ی دیگر مجموعه های ممکن باشد.یقیناً هیچ مجموعه دیگری وجود ندارد که اعضای بیشتری از این مجموعه داشته باشد.لیکن اگر چنین است،چگونه است که عدد اصلی وجود خواهد داشت که از عدد اصلی این مجموعه بزرگتر می باشد؟

بنا بر توصیف فوق،وجود مجموعه ای به نام مجموعه مرجع M غیر ممکن است، از طرفی اگر از مجموعه M صرف نظر کنیم بسیاری از قوانین مجموعه ها همچون متمم (A (M-A=Â فاقد اعتبار خواهد بود که باعث از هم پاشیدگی نظریه مجموعه ها خواهد شد.

در حالیکه پارادوکسهای برالی و کانتور در رابطه با نتایج تئوری مجموعه ها هستند.برتراند راسل در سال 1902 پارادوکسی کشف کرد که به هیچ چیز جز مفهوم مجموعه بستگی ندارد.به عنوان مثال مجموعه همه ایده های مجرد خود یک ایده مجرد است.امّا مجموعه همه مردها خود یک مرد نیست و یا مجموعه همه مجموعه ها خود یک مجموعه است،امّا مجموعه همه ستاره ها خود یک ستاره نیست.

اکنون مجموعه همه مجموعه هایی را که عضو خودشان هستند با M و مجموعه همه مجموعه هایی را که عضو خودشان نیستند با N نشان می دهیم.حال می پرسیم که آیا N عضو خودش است؟

اگر N عضو خودش باشد،آنگاه N به M تعلق دارد و لذا به N تعلق نداشته،یعنی عضو خودش نیست.از طرف دیگر اگر N عضو خودش نباشد،آنگاه N عضوی از N بوده و به M تعلق ندارد و لذا N عضو خودش است.

پارادوکس بر این واقعیت استوار است که در هر حالت ما به تناقض رهنمون می شویم.

پارادوکس فوق توسط راسل به فرگه(Frege) ارسال گردید.درست وقتی که فرگه جلد دوم کتاب بزرگ دو جلدی خود را در باب مبانی حساب تمام کرده بود.فرگه دریافت نامه راسل را در پایان کتابش با این مضمون اعلام کرد که:

«یک دانشمند به ندرت منتظر چیزی ناخواسته تر از این است که وقتی کار (تالیف مبانی) تمام شده باشد باز باید منتظر بماند.»

 براي نمايش بخش هفتم روي اين لينک کليک کنيد.

---

نویسنده: علی جعفری